有限元计算原理

4. 桁架结构

4.1 2D问题中的结构分析

有必要声明一下已经定义的值：全局坐标（X,Y）; local坐标（x,y）;全局坐标下的力和位移。

一个二力杆只能受沿杆方向的力。

在local坐标下：

4.1.1 坐标变换

写成矩阵形式：

矩阵A比较特殊————

4.1.2 单元刚度

在1D问题中单元刚度等式为

拓展到2D空间【y方向的力都是0】：

写成矩阵形式：

利用坐标变换表达出全局坐标下的单元矩阵：

全局坐标下的等式：

4.2 求出指定点的位移

4.2.1 点3处固定【杆3不存在】

以杆1为例：写出它的单元刚度矩阵：

变换为全局坐标：

杆2解法同上，但是多一条坐标变换。

连接矩阵：

组合起两个全局刚度矩阵：

边界条件：

点2上的力：

求得点2的位移：

4.2.2 点3处只能上下滑动【杆3存在】

这种情况比4.2.1多一个杆3。

连接矩阵：

组合起全局刚度矩阵：

边界条件：

负载条件：

求得点2，点3的位移：

5. 线弹性【广义胡克定律的二三事】

在x方向施加非0压力：

3个方向:

剪切应力：

各向同性材料的3D胡克定律：

回忆到这个关系式：

求得刚度矩阵：

6. 2D平面应力

消除3D矩阵中为0的行列，得到塑性矩阵：

求逆得刚度矩阵：

注意到两切应力=0：

3D应力状态：

求逆得塑性矩阵：

7. 线性三角微元

通过插值得到位移场：

简化形式写成：

[N]为（2X6）矩阵； {de}为（6X1）向量。

线性函数们：

简写形式：

以N1为例：

得到

求得

A是微元的面积：

代入得到N1：

同理可得N2、N3：

8. 力-位移 矩阵

9. 高斯积分

10. 应变能